Компрессор спиральный Remeza
Метод Гаусса Матрица Определители Дифференциальное и интегральное исчисление Производная Дифференциал функции Неопределенный интеграл Формула интегрирования по частям Определенный интеграл Производная по направлению

Курс лекций по математике: линейная алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление

Элементы теории матриц

В предыдущем разделе было введено определение матрицы A размерности p ´ q как прямоугольной таблицы:

 .

Можно пользоваться сокращенной формой записи:

  A = (aij); i = 1, 2, 3, ¼, p; j = 1, 2, 3, ¼, q.

Две матрицы одинаковой размерности p ´ q называются равными, если в них одинаковые места заняты  равными числами (на пересечении i-й строки и

j-го столбца в одной и в другой матрице стоит одно и то же число; i=1, 2, ..., p; j=1, 2, ..., q).

Пусть A = (aij) – некоторая матрица и a – произвольное число, тогда aA = (aaij), то есть при умножении матрицы A на число a все числа, составляющие матрицу A, умножаются на число a.

Пусть A и B – матрицы одинаковой размерности A = (aij), B = (bij), тогда их сумма A + B – матрица C = (cij) той же размерности, опреде­ляемая из формулы cij = aij + bij, то есть при сложении двух матриц попарно складываются одинаково расположенные в них числа.

Матрицу A можно умножить на матрицу B, то есть найти матрицу C = AB, если число столбцов n матрицы A равно числу строк матрицы B, при этом матрица C будет иметь столько строк, сколько строк у матрицы A и столько столбцов, сколько столбцов у матрицы B. Каждый элемент матрицы C определяется формулой

 

Элемент cij матрицы-произведения C равен сумме произведений элементов i-

строки первой матрицы- сомножителя на соответствующие  элементы j-го столбца второй матрицы-сомножителя.

Из сказанного следует, что если можно найти произведение матриц AB, то произведение BA, вообще говоря, не определено.

Если при преобразовании расширенной матрицы системы матрица коэффициентов приводится к трапецеидальному виду и при этом система не получается противоречивой, то система совместна и является неопределенной, то есть имеет бесконечно много решений.

Рассмотрим еще одну систему, имеющую бесконечно много решений

Сформулируем теперь кратко суть метода Гаусса . Полагая, что в системе коэффициент a11 отличен от нуля ( если это не так, то следует на первое место поставить уравнение с отличным от нуля коэффициентом при x1 и переобозначить коэффициенты), преобразуем систему следующим образом: первое уравнение оставляем без изменения, а из всех остальных уравнений исключаем неизвестную x1 с помощью эквивалентных преобразований описанным выше способом.


Дифференциальные уравнения первого порядка