Метод Гаусса Матрица Определители Дифференциальное и интегральное исчисление Производная Дифференциал функции Неопределенный интеграл Формула интегрирования по частям Определенный интеграл Производная по направлению

Курс лекций по математике: линейная алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление

Неопределенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех xÎ(a;b) выполняется равенство F¢(x)=f(x).

Например, для функции x2 первообразной будет функция x3/3.

Если для F(x) установлено равенство dF(x)=f(x)dx, то F(x) ¾ первообразная для f(x), так как .

Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции.

src="ris

Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x)+C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b).

Доказательство.

  (F+C)¢=F¢+C¢=f+0= f

По определению F + C ¾ первообразная для f.

Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.

Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g¢(x)=0.

Доказательство.

Так как g(x)=C, справедливы равенства: g¢(x)=C¢=0 (здесь, как и ниже, через C обозначено произвольно выбранное число).

Если g¢(x)=0 при всех xÎ(a;b), то g(x)=C на (a;b).

Доказательство.

Пусть g¢(x)=0 во всех точках (a;b). Зафиксируем точку x1Î(a;b). Тогда для любой точки xÎ(a;b) по формуле Лагранжа имеем

 g(x)–g(x1)=g¢(x)(x–x1)

Так как xÎ(x; x1), а точки x и x1 принадлежат промежутку (a;b), то g¢(x)=0, откуда следует, что g(x)–g(x1)=0, то есть g(x)=g(x1)=const.

Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G=F+C, где C – число.

Доказательство.

Возьмем производную от разности G–F: (G–F)¢=G¢–F¢=
=f–f=0. Отсюда следует: G–F=C, где C ¾ число, то есть G=F+C.

Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b) называется неопределенным интегралом и обозначается òf(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то òf(x)dx=F(x)+C, где C – произвольное число.

Рассмотрим пример из микроэкономики. В количественной теории полезности предполагается, что потребитель может дать количественную оценку (в некоторых единицах измерения) полезности любого количества потребляемого им товара.

Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием. Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F¢(x)=f(x) соответствует формула òf(x)dx=F(x)+C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов

Замена переменной в неопределенном интеграле Если функция f(x) непрерывна, а функция j(t) имеет непрерывную производную j¢(t), то имеет место формула òf(j(t))j¢(t)dt =òf(x) dx, где x = j(t).


Дифференциальные уравнения первого порядка