Метод Гаусса Матрица Определители Дифференциальное и интегральное исчисление Производная Дифференциал функции Неопределенный интеграл Формула интегрирования по частям Определенный интеграл Производная по направлению

Курс лекций по математике: линейная алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Рассмотрим квадратную систему

 . (1)

У этой системы коэффициент a11 отличен от нуля. Если бы это условие не выполнялось, то чтобы его получить, нужно было бы переставить местами уравнения, поставив первым то уравнение, у которого коэффициент при x1 не равен нулю.

Проведем следующие преобразования системы:

1)поскольку a11¹0, первое уравнение оставим без изменений;

2)вместо второго уравнения запишем уравнение, получающееся, если из второго уравнения вычесть первое, умноженное на 4;

3)вместо третьего уравнения запишем разность третьего и первого, умноженного на3;

4)вместо четвертого уравнения запишем разность четвертого и первого, умноженного на 5.

Полученная новая система эквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме первого, нулевые коэффициенты при x1 (это и являлось целью преобразований 1 – 4):

  . (2)

Можно доказать, что замена любого уравнения системы новым, получающимся прибавлением к данному уравнению любого другого уравнения системы, умноженного на любое число, является эквивалентным преобразованием системы.

Системы линейных уравнений

Для приведенного преобразования и для всех дальнейших преобразований не следует целиком переписывать всю систему, как это только что сделано. Исходную систему можно представить в виде таблицы

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие преобразования:


Дифференциальные уравнения первого порядка