Пример расчета трехфазной цепи Асинхронные машины Режим генератора Двухполупериодный выпрямитель Трехфазный трансформатор Полупроводниковые диоды Биполярные транзисторы Автогенераторы

Примеры выполнения курсовых работ по электротехнике и электронике

Принципы оптимальной линейной фильтрации сигнала на фоне помех. Передаточная функция и импульсная характеристика фильтра. Сигнал и помеха на выходе согласованного фильтра.

Центральной проблемой радиотехники была и остается проблема помехоустойчивости связи. Система связи должна быть спроектированной так, чтобы она обладала способностью наилучшим образом противостоять мешающему действию помех.

Проблема помехоустойчивости радиосвязи включает в себя большое число других проблем, охватывающих все разделы радиотехники:

Генерирование мощных колебаний, освоение и выбор волн, обеспечивающий благоприятные условия распространения, использование антенн направленного действия, поиски новых видов радиосигналов и новых способов их обработки на фоне помех и т.д.

Для теории РТЦ и С особый интерес представляет возможность ослабления вредного действия помехи с помощью линейной фильтрации, основанной на использовании линейных частотных фильтров.

К частотным фильтрам предъявлялось требование возможно более равномерного пропускания спектра сигнала и возможно более полного подавления частот вне этого спектра.

Идеальным считался фильтр с прямоугольной П – образной АЧХ.

Коренной перелом в теории и практике линейной фильтрации связан с появлением работ Н. Винера, А.Н. Колмогорова, В.А. Котельникова и других ученных, которые поставили и решили задачу синтеза фильтра, оптимального в определенном смысле для приема заданного сигнала, действующего на фоне помехи с заданными статическими характеристиками.

Требования к фильтру, максимизирующему отношение сигнал – помех, можно сформировать следующим образом.

На вход линейного четырехполюсника с постоянными параметрами и передаточной функцией К(iw) подается аддитивная смесь сигнала S(t) и шума n(t), рис.13.1.

Рис.13.1. Воздействие сигнала и помехи на линейный четирехполюсник.

Сигнал полностью известен: это означает, что заданы его форма и положение на оси времени.

Шум представляет собой случайный процесс с заданными статическими характеристиками. Требуется синтезировать фильтр, обеспечивающий получение на входе наибольшего возможного отношения пикового значения сигнала к среднеквадратическому значению шума. При этом не ставится условие сохранения формы сигнала, так как для обнаружения его шумах форма значения не имеет.

13.2. Передаточная функция оптимального фильтра.

Под синтезом фильтра будем подразумевать отыскание передаточной функции физически осуществимого фильтра, обеспечивающего упомянутую выше максимизацию отношения сигнал – помех.

Передаточную функцию будем представлять в форме

К(iw)=K(w)eijk(w)

Таким образом, задана сводится к отысканию АЧХ К(w) и ФЧХ jk(w) оптимального фильтра.

Наиболее просто эта задача решается для сигнала, действующего на фоне белого шума с равномерным спектром

W(w)=W0=const

Для отыскания оптимальной (в указанном смысле) передаточной функции К(iw) составим выражение для сигнала и шума на выходе фильтра сначала порознь, а затем в виде их отношения.

Сигнал в фиксированный момент времени t0

а среднеквадратическое значение помехи - выражением

  13.2

В выражении (13.1)

S(w)=S(w)eiqS(w)

Спектральная плотность заданного входного сигнала S(t), а под t0 подразумевается момент времени, соответствующий максимуму (пику) сигнала на входе фильтре.

Смысл и минимально возможное значение t0 такова.

Для образования пика требуется использование всей энергии сигнала, а это возможно не ранее окончания действия входного сигнала.

Иными словами, t0 не может быть раньше момента окончания сигнала.

Составим теперь отношение

  13.3

 13.6

Учитывая, что выражение в квадратных скобках правой части этого равенства есть не что иное, как полная энергия. ' входного сигнала S(t), приходим к следующему результату:

S(t0)/s£Ö'/W0  13.7

Это неравенство обращается в равенство при выполнении условия

К(iw)=K(w)eijk(w)=AS*(w)e-iwtoAS(w)e-i[qS(w)+wt0] 13.8

Полученное соотношение полностью определяет передаточную функцию фильтра, максимизирующего отношение сигнал – помеха на выходе, при входной помехе типа белого шума.

Функция К(iw), отвечающая условию (13.8), согласована со спектральными характеристиками сигнала – амплитудой и фазой.

В связи с этим рассматриваемый оптимальный фильтр часто называют согласованным фильтром.

Итак, отношение пика сигнала к среднеквадтическому значению помехи на выходе согласованного фильтра определяется равенством

где А – произвольный постоянный коэффициент.

13.3. Импульсная характеристика согласованного фильтра.

Тот факт, что коэффициент передачи согласованного фильтра К(iw) является функцией, сопряженной по отношению к спектру сигнала S(w), указывает на существование тесной связи также и между временными характеристиками согласованного фильтра.

Коэффициентов усиления по напряжению КЕ и по току КI можно трактовать как передаточные функции линейного активного четырехполюсника.

Записав КЕ и КI в виде КЕ(iw), KI(iw) приходим к понятию передаточная функция линейного активного четырехполюсника К(iw).

Безразмерная в общем случае комплексная функция K(iw) является исперчивающей характеристикой четырехполюсника в частотной области.

Она определяется в стационарном режиме при гармоническом возбуждении четырехполюсника.

Предаточную функцию мы представляли в форме

К(iw)=K(w)еij(w) 5.38

Модуль К(w) называли АЧХ четырехполюсника.

Аргумент j(w) называли ФЧХ четырехполюсника

Другой исперчывающей характеристикой четырехполюсника является его импульсная характеристика g(t), которая используется для описания цепи во временной области.

Для активных линейных цепей, как и для пассивных, под импульсной характеристикой цепи g(t) подразумевается отклик, реакция цепи на воздействие, имеющее вид единичного импульса (дельта - функции).

Связь между g(t) и K(iw) нетрудно установить с помощью интеграла Фурье.

Если на входе четырехполюсника действует единичный импульс (дельта - функция) ЭДС со спектральной плотностью, равной единице для всех частот, то спектральная плотность выходного напряжения равна просто K(iw).

Отклик на единичный импульс, т.е. импульсная характеристика цепи, легко определяется с помощью обратного преобразования Фурье, примененного к передаточной функции K(iw):

  5.39

При этом необходимо учитывать, что перед правой частью этого равенства имеется множитель 1 с размерностью площади дельта – функции.

В частном случае, когда имеется в виду s - импульс напряжения, это размерность будет [вольт Х секунда].

Соответственно функция K(iw) является преобразованием Фурье импульсной характеристики:

  5.40

В данном случае перед интегралом имеется в виду множитель единица с размерностью [вольт Х секунда]-1.

В дальнейшем импульсную характеристику будем обозначать функцией g(t), под которой можно подразумевать не только напряжение, но и любою другую электрическую величину, являющуюся откликом на воздействие в виде дельта – функции.

Применяя выражение (5.39) и учитывая формулу (13.8), получаем

 13.13

Учитывая, что S*(w)=S(-w) и переходя к новой переменной w1=-w, переписываем выражение (13.13) следующим образом:

  13.14

Правая часть этого выражения есть не что иное, как функция AS(t0-t).

Следовательно, если задан сигнал S(t), то импульсная характеристика согласованного (оптимального) фильтра g(t) определяется как функция

g(t)=AS(t0-t), 13.15

т.е. импульсная характеристика по своей форме должна совпадать с зеркальным отражением сигнала.

Построение графика функции S(t0-t) показано на рис.13.4

 


Рис.13.4. Построение функции, 

зеркальной по отношению

к сигналу

Рис.13.5. Построение импульсной характеристики согласованного фильтра.

Кривая S(-t) является зеркальным отражением заданного сигнала S(t) с осью ординат в качестве оси симметрии.

Функция же S(t0-t), сдвинутая относительно S(-t) на время t0 вправо, также зеркальна по отношению к исходному сигналу S(t), но с осью симметрии, проходящей через точку t0/2 на оси абсцисс.

На рис. 13.5 показано аналогичное построение для случая, когда отсчет времени ведется от начала сигнала.


Общая электротехника и электроника